Онлайн калькулятор сокращения алгебраических дробей с подробным решением позволяет сократить дробь и перевести неправильную дробь в правильную дробь. Как сокращать алгебраические дроби

На первый взгляд алгебраические дроби кажутся очень сложными, и неподготовленный учащийся может подумать, что с ними невозможно ничего сделать. Нагромождение переменных, чисел и даже степеней навевает страх. Тем не менее, для сокращения обычных (например, 15/25) и алгебраических дробей используются одни и те же правила.

Шаги

Сокращение дробей

Ознакомьтесь с действиями с простыми дробями. Операции с обычными и алгебраическими дробями аналогичны. К примеру, возьмем дробь 15/35. Чтобы упростить эту дробь, следует найти общий делитель . Оба числа делятся на пять, поэтому мы можем выделить 5 в числителе и знаменателе:

Теперь можно сократить общие множители , то есть вычеркнуть 5 в числителе и знаменателе. В результате получаем упрощенную дробь 3/7 . В алгебраических выражениях общие множители выделяются точно так же, как и в обычных. В предыдущем примере мы смогли легко выделить 5 из 15 - тот же принцип применим и к более сложным выражениям, таким как 15x – 5. Найдем общий множитель. В данном случае это будет 5, так как оба члена (15x и -5) делятся на 5. Как и ранее, выделим общий множитель и перенесем его влево .

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Чтобы проверить, все ли правильно, достаточно умножить на 5 стоящее в скобках выражение - в результате получатся те же числа, что были сначала. Сложные члены можно выделять точно так же, как и простые. Для алгебраических дробей применимы те же принципы, что и для обычных. Это наиболее простой способ сократить дробь. Рассмотрим следующую дробь:

Отметим, что и в числителе (сверху), и в знаменателе (снизу) присутствует член (x+2), поэтому его можно сократить так же, как общий множитель 5 в дроби 15/35:

В результате получаем упрощенное выражение: (x-3)/(x+10)

Сокращение алгебраических дробей

Найдите общий множитель в числителе, то есть в верхней части дроби. При сокращении алгебраической дроби первым делом следует упростить обе ее части. Начните с числителя и постарайтесь разложить его на как можно большее число множителей. Рассмотрим в данном разделе следующую дробь:

Начнем с числителя: 9x – 3. Для 9x и -3 общим множителем является число 3. Вынесем 3 за скобки, как это делается с обычными числами: 3 * (3x-1). В результате данного преобразования получится следующая дробь:

Найдите общий множитель в числителе. Продолжим выполнение приведенного выше примера и выпишем знаменатель: 15x+6. Как и раньше, найдем, на какое число делятся обе части. И в этом случае общим множителем является 3, так что можно записать: 3 * (5x +2). Перепишем дробь в следующем виде:

Сократите одинаковые члены. На этом шаге можно упростить дробь. Сократите одинаковые члены в числителе и знаменателе. В нашем примере это число 3.

Определите, что дробь имеет простейший вид. Дробь полностью упрощена в том случае, когда в числителе и знаменателе не осталось общих множителей. Учтите, что нельзя сокращать те члены, которые стоят внутри скобок - в приведенном примере нет возможности выделить x из 3x и 5x, поскольку полными членами являются (3x -1) и (5x + 2). Таким образом, дробь не поддается дальнейшему упрощению, и окончательный ответ выглядит следующим образом:

Потренируйтесь сокращать дроби самостоятельно. Лучший способ усвоить метод заключается в самостоятельном решении задач. Под примерами приведены правильные ответы.

Ответ: (x=13)

Ответ: (2x-1)/5

Специальные приемы

Вынесите отрицательный знак за пределы дроби. Предположим, дана следующая дробь:

Заметьте, что (x-4) и (4-x) “почти” идентичны, но их нельзя сократить сразу, поскольку они “перевернуты”. Тем не менее, (x - 4) можно записать как -1 * (4 - x), подобно тому как (4 + 2x) можно переписать в виде 2 * (2 + x). Это называется “переменой знака”.

Теперь можно сократить одинаковые члены (4-x):

Итак, получаем окончательный ответ: -3/5 . Научитесь распознавать разницу квадратов. Разница квадратов - это когда квадрат одного числа вычитается из квадрата другого числа, как в выражении (a 2 - b 2). Разницу полных квадратов всегда можно разложить на две части - сумму и разницу соответствующих квадратных корней. Тогда выражение примет следующий вид:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Этот прием очень полезен при поиске общих членов в алгебраических дробях.

• Проверьте, правильно ли вы разложили то или иное выражение на множители. Для этого перемножьте множители - в результате должно получиться то же самое выражение.
• Чтобы полностью упростить дробь, всегда выделяйте наибольшие множители.

Итак, мы уже знаем, что числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, дробь от этого не изменится. Рассмотрим три подхода:

Подход первый.

Для сокращения делят числитель и знаменатель на общий делитель. Рассмотрим примеры:

Сократим:

В приведенных примерах мы сразу видим какие взять делители для сокращения. Процесс несложен – мы перебираем 2,3.4,5 и так далее. В большинстве примеров школьного курса этого вполне достаточно. А вот если будет дробь:

Тут процесс с подбором делителей может затянуться надолго;). Конечно, такие примеры лежат вне школьного курса, но справляться с ними нужно уметь. Чуть ниже рассмотрим как это делается. А пока вернёмся к процессу сокращения.

Как рассмотрено выше, для того чтобы сократить дробь, мы осуществляли деление на определённый нами общий делитель(ли). Всё правильно! Стоит лишь добавить признаки делимости чисел:

— если число чётное то оно делится на 2.

— если число из последних двух цифр делится на 4, то и само число делится на 4.

— если сумма цифр из которых состоит число делится на 3, то и само число делится на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Двенадцать делится на 3, значит и 123031 делится на 3.

— если в конце числа стоит 5 или 0, то число делится на 5.

— если сумма цифр из которых состоит число делится на 9, то и само число делится на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Восемнадцать делится на 9, значит и 623032 делится на 9.

Второй подход.

Если кратко суть, то на самом деле всё действо сводится к разложению числителя и знаменателя на множители и далее к сокращению равных множителей в числителе и знаменателе (данный подход – это следствие из первого подхода):

Визуально, чтобы не запутаться и не ошибиться равные множители просто перечёркивают. Вопрос – а как разложить число на множители? Нужно определить перебором все делители. Это тема отдельная, она несложная, посмотрите информацию в учебнике или интернете. Никаких великих проблем с разложением на множители чисел, которые присутствуют в дробях школьного курса, вы не встретите.

Формально принцип сокращения можно записать так:

Подход третий.

Тут самое интересное для продвинутых и тех, кто хочет им стать. Сократим дробь 143/273. Попробуйте сами! Ну и как, быстро получилось? А теперь смотрите!

Переворачиваем её (числитель и знаменатель меняем местами). Делим уголком полученную дробь переводим в смешанное число, то есть выделяем целую часть:

Уже проще. Мы видим, что числитель и знаменатель можно сократить на 13:

А теперь не забываем снова перевернуть дробь обратно, давайте запишем всю цепочку:

Проверено – времени уходит меньше, чем на перебор и проверку делителей. Вернёмся к нашим двум примерам:

Первый. Делим уголком (не на калькуляторе), получим:

Эта дробь попроще конечно, но с сокращением опять проблема. Теперь отдельно разбираем дробь 1273/1463, переворачиваем её:

Тут уже проще. Можем рассмотреть такой делитель как 19. Остальные не подходят, это видно: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Запишем:

Следующий пример. Сократим 88179/2717.

Делим, получим:

Отдельно разбираем дробь 1235/2717, переворачиваем её:

Можем рассмотреть такой делитель как 13 (до 13 не подходят):

Числитель 247:13=19 Знаменатель 1235:13=95

*В процессе увидели ещё один делитель равный 19. Получается, что:

Теперь записываем исходное число:

И не важно, что будет больше в дроби – числитель или знаменатель, если знаменатель, то переворачиваем и действуем как описано. Таким образом мы можем сократить любую дробь, третий подход можно назвать универсальным.

Конечно, два примера рассмотренные выше это непростые примеры. Давайте попробуем эту технологию на уже рассмотренных нами «несложных» дробях:

Две четвёртых.

Семьдесят две шестидесятых. Числитель больше знаменателя, переворачивать не нужно:

Разумеется, третий подход применили к таким простым примерам просто как альтернативу. Способ, как уже сказано, универсальный, но не для всех дробей удобный и корректный, особенно это относится к простым.

Многообразие дробей велико. Важно, чтобы вы усвоили именно принципы. Строгого правила по работе с дробями просто нет. Посмотрели, прикинули каким образом удобнее действовать и вперёд. С практикой придёт навык и будете щёлкать их как семечки.

Вывод:

Если видите общий(ие) делитель(и) для числителя и знаменателя, то используйте их для сокращения.

Если умеете быстро раскладывать на множители число, то разложите числитель и знаменатель, далее сокращайте.

Если никак не можете определить общий делитель, то воспользуйтесь третьим подходом.

*Для сокращения дробей важно усвоить принципы сокращения, понимать основное свойство дроби, знать подходы к решению, быть крайне внимательным при вычислениях.

И запомните! Дробь принято сокращать до упора, то есть сокращать её пока есть общий делитель.

C уважением, Александр Крутицких.

Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое "сокращение дробей"

Сократить дробь - значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.

В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .

Приведение дробей к несократимому виду

В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?

Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)

Приведение дроби к несократимому виду

Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Правило сокращения дробей

Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

Правило сокращения дробей

Чтобы сократить дробь нужно:

1. Найти НОД числителя и знаменателя.
2. Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

Рассмотрим практические примеры.

Пример 1. Сократим дробь.

Дана дробь 182 195 . Сократим ее.

Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.

195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182 , 195) = 13

Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

Пример 2. Сократим дробь

Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.

Для этого представим исходную дробь в виде:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

Пример 3. Сократим дробь

Сократим дробь 2000 4400 .

Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Дети в школе учат правила сокращения дробей в 6 классе. В этой статье мы сначала расскажем вам о том, что же означает это действие, затем разъясним, как сократимую дробь перевести в несократимую. Следующим пунктом будут правила сокращения дробей, а затем уже постепенно подберемся к примерам.

Что значит "сократить дробь "?

Итак, все мы знаем, что обычные дроби делятся на две группы: сократимые и несократимые. Уже по названиям можно понять, что те, что сократимые - сокращаются, а те, которые несократимые - не сокращаются.

• Сократить дробь - это значит разделить ее знаменатель и числитель на их (отличный от единицы) положительный делитель. В результате, конечно, выходит новая дробь с меньшим знаменателем и числителем. Полученная дробь будет равна исходной дроби.

Стоит отметить, что в книгах по математике с заданием "сократите дробь " это значит, что нужно исходную дробь привести именно к этому несократимому виду. Если говорить простыми словами, то деление знаменателя и числителя на их наибольший общий делитель и есть сокращение.

Как сократить дробь. Правила сокращения дробей (6 класс)

Итак, здесь всего два правила.

1. Первое правило сокращения дробей: сначала нужно будет найти наибольший общий делитель знаменателя и числителя вашей дроби.
2. Второе правило: делить знаменатель и числитель на наибольший общий делитель, в конечном итоге получить несократимую дробь.

Как сократить неправильную дробь?

Правила сокращения дробей идентичны правилам сокращения неправильных дробей.

Для того чтобы сократить неправильную дробь, для начала нужно будет расписать на простые множители знаменатель и числитель, а уже потом общие множители сокращать.

Сокращение смешанных дробей

Правила сокращения дробей также распространяется на сокращение смешанных дробей. Есть лишь небольшая разница: целую часть мы можем не трогать, а дробную сократить или смешанную дробь перевести в неправильную, затем сократить и опять перевести в правильную дробь.

Сократить смешанные дроби можно двумя способами.

Первый: расписать дробную часть на простые множители и целую часть тогда не трогать.

Второй способ: перевести сначала в неправильную дробь, расписать на обычные множители, потом сократить дробь. Уже полученную неправильную дробь перевести в правильную.

Примеры можно увидеть на фото выше.

Мы очень надеемся, что смогли помочь вам и вашим детям. Ведь на уроках они очень часто бывают невнимательными, поэтому приходится заниматься интенсивнее на дому самостоятельно.

Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

К этому же ответу можем прийти другим путем.

И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

И еще один вариант решения.

В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.