Основоположник теории графов. История возникновения теории графов

2016 уч. Год

1. Введение

2. История возникновения теории графов

3. Основные понятия теории графов

4. Основные теоремы теории графов

5. Способы представления графов в компьютере

6. Обзор задач теории графов

7. Заключение

8. Список литературы

Введение

В последнее время исследования в областях, традиционно относящихся к дискретной математике, занимают все более заметное место. Наряду с такими классическими разделами математики, как математический анализ, дифференциальные уравнения, в учебных планах специальности "Прикладная математика" и многих других специальностей появились разделы по математической логике, алгебре, комбинаторике и теории графов. Причины этого нетрудно понять, просто обозначив круг задач, решаемых на базе этого математического аппарата.

История возникновения теории графов.

1. Задача о Кенигсбергских мостах. На рис. 1 представлен схематический план центральной части города Кенигсберг (ныне Калининград), включающий два берега реки Перголя, два острова в ней и семь соединяющих мостов. Задача состоит в том, чтобы обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку. Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Эйлером в 1736 году.

рис. 1

2. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 2). Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Куратовским в 1930 году.

рис. 2

3. Задача о четырех красках. Разбиение на плоскости на непересекающиеся области называется картой. Области на карте называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом (рис. 3). С конца позапрошлого века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. В 1976 году Аппель и Хейкен опубликовали решение задачи о четырех красках, которое базировалось на переборе вариантов с помощью компьютера. Решение этой задачи «программным путем» явилось прецедентом, породившим бурную дискуссию, которая отнюдь не закончена. Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера. Проверить «вручную» полученное решение невозможно – объем перебора выходит далеко за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки… Методы формального доказательства правильности программ не применимы к программам такой сложности, как обсуждаемая. Тестирование не может гарантировать отсутствие ошибок и в данном случае вообще невозможно. Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они сделали все правильно.

Рис. 3

Основные понятия теории графов

1) Графом G(V,E) называется совокупность двух множеств – непустого множества V(множества вершин) и множества E двухэлементных подмножеств множества V(E – множество ребер).

2) Ориентированным называется граф, в котором - множество упорядоченных пар вершин вида (x,y), где x называется началом, а y – концом дуги. Дугу (x, y) часто записывают как . Говорят также, что дуга ведет от вершины x к вершине y, а вершина y смежная с вершиной x.

3) Если элементом множества E может быть пара одинаковых (не различных) элементов V, то такой элемент множества E называется петлей , а граф называется графом с петлями (или псевдографом ).

4) Если E является не множеством, а набором , содержащим несколько одинаковых элементов, то эти элементы называются кратными ребрами , а граф называется мультиграфом .

5) Если элементами множества E являются не обязательно двухэлементные, алюбые подмножества множества V, то такие элементы множества E называются гипердугами , а граф называется гиперграфом .

6) Если задана функция F: V → M и/или F: E → M , то множество M называется множеством пометок , а граф называется помеченным (или нагруженным ). В качестве множества пометок обычно используются буквы или целые числа. Если функция F инъективна, то есть разные вершины (ребра)имеют разные пометки, то граф называют нумерованным .

7) Подграфом называется граф G′(V′,E′), где и/или .

a) Если V′ = V, то G′ называется остовным подграфом G.

b) Если , то граф G′ называется собственным подграфом графа G.

c) Подграф G′(V′,E′) называется правильным подграфом графа G(V,E), если G′ содержит все возможные рёбра G.

8) Степень (валентность) вершины – это количество ребер, инцидентных этой вершине (количество смежных с ней вершин).

9) Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер , в которой любые два соседних элемента инциденты.

a) Если , то маршрут замкнут , иначе открыт .

b) Если все ребра различны, то маршрут называется цепью.

c) Если все вершины (а значит, и ребра) различны, то маршрут называется простой цепью .

d) Замкнутая цепь называется циклом .

e) Замкнутая простая цепь называется простым циклом .

f) Граф без циклов называется ациклическим.

g) Для орграфов цепь называется путем , а цикл – контуром .

рис. 4. Маршруты, цепи, циклы

Пример

В графе, диаграмма которого приведена на рис.4:

1. v 1 , v 3 , v 1 , v 4 – маршрут, но не цепь;

2. v 1 , v 3 , v 5 , v 2 , v 3 , v 4 – цепь, но не простая цепь;

3. v 1 , v 4 , v 3 , v 2 , v 5 – простая цепь;

4. v 1 , v 3 , v 5 , v 2 , v 3 , v 4 , v 1 – цикл, но не простой цикл;

5. v 1 , v 3 , v 4 , v 1 – простой цикл.

10) Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым циклом.

11) Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа (по одному разу), то такой цикл называется гамильтоновым циклом.

12) Деревом называется связный граф без циклов.

13) Остовом называется дерево, содержащее все вершины графа.

14) Паросочетанием называется множество ребер, в котором никакие два не смежны.

15) Паросочетание называется максимальным , если никакое его надмножество не является независимым.

16) Две вершины в графе связаны , если существует соединяющая их простая цепь.

17) Граф, в котором все вершины связаны, называется связным.

18) Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется вполне несвязным.

19) Длиной маршрута называется количество ребер в нем (с повторениями).

20) Расстоянием между вершинами u и v называется длина кратчайшей цепи , а сама кратчайшая цепь называется геодезической .

21) Диаметром графа G называется длина длиннейшей геодезической.

22) Эксцентриситетом вершины v в связном графе G(V,E) называется максимальное расстояние от вершины v до других вершин графа G.

23) Радиусом графа G называется наименьший из эксцентриситетов вершин.

24) Вершина v называется центральной , если ее эксцентриситет совпадает с радиусом графа.

25) Множество центральных вершин называется центром графа.

рис. 5 Эксцентриситеты вершин и центры графов (выделены).

Похожая информация.

ГРАФЫ

Многие задачи сводятся к рассмотрению совокупности объектов, существенные свойства которых описываются связями между ними. Например, глядя на карту автомобильных дорог, можно интересоваться только тем, имеется ли связь между некоторыми населенными пунктами, отвлекаясь от конфигурации и качества дорог, расстояний и других подробностей. При изучении электрических цепей на первый план может выступать характер соединений различных ее компонентов – резисторов, конденсаторов, источников и т. п. Органические молекулы образуют структуры, характерными свойствами которых являются связи между атомами. Интерес могут представлять различные связи и отношения между людьми, событиями, состояниями и вообще между любыми объектами.

Рассматриваемые объекты в подобных случаях удобно изображать точками, а связи между ними – линиями произвольной конфигурации. Такое формализованное изображение называется графом (от греческогоgrajw – пишу).

Рис. 4.1.

Первая работа по графам была опубликована двадцатилетним Леонардом Эйлером в 1736 г., когда он работал в Российской Академии наук. Она содержала решение задачи о кенигсбергских мостах (рис. 4.1а): можно ли совершить прогулку таким образом, чтобы, выйдя из любого места города, вернуться в него, пройдя в точности один раз по каждому мосту? Ясно, что по условию задачи не имеет значения, как проходит путь по частям суши а, b, с, d, на которых расположен г. Кенигсберг (ныне Калининград), поэтому их можно представить вершинами. А так как связи между этими частями осуществляются только через семь мостов, то каждый из них изображается ребром, соединяющим соответствующие вершины. В результате получаем граф, изображенный на рис. 4.1б. Эйлер дал отрицательный ответ на поставленный вопрос. Более того, он доказал, что подобный маршрут имеется только для такого графа, каждая из вершин которого связана с четным числом ребер.

Следующий импульс теория графов получила почти 100 лет спустя с развитием исследований по электрическим сетям, кристаллографии, органической химии и другим наукам. Наряду с многочисленными головоломками и играми на графах рассматривались важные практические проблемы, многие из которых требовали тонких математических методов. Уже в середине прошлого века Кирхгоф применил графы для анализа электрических цепей, а Кэли исследовал важный класс графов для выявления и перечисления изомеров насыщенных углеводородов. Однако теория графов как математическая дисциплина сформировалась только к середине тридцатых годов прошлого столетия благодаря работам многих исследователей, наибольшая заслуга среди которых принадлежит Д. Кенигу. Значительный вклад в теорию графов внесли советские ученые Л. С. Понтрягин, А. А. Зыков, В. Г. Визинг и др.

С графами, сами того не замечая, мы сталкиваемся постоянно. Например, графом является схема линий метрополитена. Точками на ней представлены станции, а линиями – пути движения поездов. Исследуя свою родословную и возводя ее к предкам, мы строим генеалогическое дерево. И это дерево – граф.

Графы служат удобным средством описания связей между объектами. Например, рассматривая граф, изображающий сеть дорог между населенными пунктами, можно определить маршрут проезда от пункта А до пункта Б. Если таких маршрутов окажется несколько, хотелось бы выбрать в определенном смысле оптимальный, например самый короткий или самый безопасный. Для решения задачи выбора требуется проводить определенные вычисления над графами. При решении подобных задач удобно использовать алгебраическую технику, да и само понятие графа необходимо формализовать.

Теория графов располагает мощным аппаратом решения прикладных задач из самых различных областей науки и техники. Сюда относятся, например, анализ и синтез цепей и систем, проектирование каналов связи и исследование процессов передачи информации, построение контактных схем и исследование конечных автоматов, сетевое планирование и управление, исследование операций, выбор оптимальных маршрутов и потоков в сетях, исследование случайных процессов и многие другие задачи. Теория графов тесно связана с такими разделами дискретной математики, как теория множеств, теория матриц, математическая логика и теория вероятностей.

В настоящее время теория графов охватывает большой материал, однако при ее изложении ограничимся только его частью и, опуская многочисленные теоремы, рассмотрим лишь некоторые основные понятия.

Тео́рия гра́фов - раздел дискретной математики , изучающий свойства графов . В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств. G=(V,E), где V есть подмножество любого счётного множества, а E - подмножество V×V.

История возникновения теории графов
Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.
Первые задачи теории графов были связаны с решением математических развлекательных задач и головоломок. Вот пересказ отрывка из письма Эйлера от 13 марта 1736 году: ” Мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто 7 мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. После долгих размышлений я нашел лёгкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может“. Кенигсбергские мосты схематически можно изобразить так:
Правило Эйлера:

1. В графе, не имеющем вершин нечетных степеней, существует обход всех рёбер (причем каждое ребро проходится в точности один раз) с началом в любой вершине графа.
2. В графе, имеющем две и только две вершины с нечетными степенями, существует обход с началом в одной вершине с нечетной степенью и концом в другой.
3. В графе, имеющим более двух вершин с нечетной степенью, такого обхода не существует.

Введение

Начало теории графов как математической дисциплины было положено Эйлером в его знаменитом рассуждении о Кенигсбергских мостах. Однако эта статья Эйлера 1736 года была единственной в течение почти ста лет. Интерес к проблемам теории графов возродился около середины прошлого столетия и был сосредоточен главным образом в Англии. Имелось много причин для такого оживления изучения графов. Естественные науки оказали свое влияние на это благодаря исследованиям электрических цепей, моделей кристаллов и структур молекул. Развитие формальной логики привело к изучению бинарных отношений в форме графов. Большое число популярных головоломок подавалось формулировкам непосредственно в терминах графов, и это приводило к пониманию, что многие задачи такого рода содержат некоторое математическое ядро, важность которого выходит за рамки конкретного вопроса. Наиболее знаменитая среди этих задач-проблема четырех красок, впервые поставленная перед математиками Де Морганом около 1850 года. Никакая проблема не вызывала столь многочисленных и остроумных работ в области теории графов.

Настоящее столетие было свидетелем неуклонного развития теории графов, которая за последние десять - двадцать лет вступила в новый период интенсивных разработок. В этом процессе явно заметно влияние запросов новых областей: теории игр и программирования, теории передачи сообщений, электрических сетей и контактных цепей, а также проблем психологии и биологии.

Вследствие этого развития предмет теории графов является уже обширным, что все его основные направления невозможно изложить в одном томе. В настоящем первом томе предлагаемого двухтомного труда сделан акцепт на основные понятия и на результаты, вызывающие особый систематический интерес.

Теоретическая часть

История возникновения теории графов

1. Задача о Кенигсбергских мостах. На рис. 1 представлен схематический план центральной части города Кенигсберг (ныне Калининград), включающий два берега реки Перголя, два острова в ней и семь соединяющих мостов. Задача состоит в том, чтобы обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку. Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Эйлером в 1736 году.

Рис. 1.

2. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 2). Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Куратовским в 1930 году .

Рис. 2

3. Задача о четырех красках. Разбиение на плоскости на непересекающиеся области называется картой. Области на карте называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом (рис. 3). С конца позапрошлого века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. В 1976 году Аппель и Хейкен опубликовали решение задачи о четырех красках, которое базировалось на переборе вариантов с помощью компьютера. Решение этой задачи «программным путем» явилось прецедентом, породившим бурную дискуссию, которая отнюдь не закончена. Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера. Проверить «вручную» полученное решение невозможно - объем перебора выходит далеко за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки… Методы формального доказательства правильности программ не применимы к программам такой сложности, как обсуждаемая. Тестирование не может гарантировать отсутствие ошибок и в данном случае вообще невозможно. Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они сделали все правильно.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 2

Подготовил

Легкоконец Владислав, ученик 10А класса

Практическое применение Теории Графов

Руководитель

Л.И. Носкова, учитель математики

ст.Брюховецкая

2011 г.

1.Введение………………………………………………………………………….………….3

2.История возникновения теории графов………………………………………….………..4

3.Основные определения и теоремы теории графов……………………………….………6

4.Задачи,решаемые при помощи графов……………………………..……………………..8

4.1 Знаменитые задачи………………………………….………………………...8

4.2 Несколько интересных задач………………………………….……………..9

5.Применение графов в различных областях жизни людей……………………………...11

6.Решение задач……………………………………………………………………………...12

7. Заключение………………….…………………………………………………………….13

8. Список литературы………….……………………………………………………………14

9.Приложение…………………………………………………………………….…………15

Введение

Родившись при решении головоломок и занимательных игр, теория графов стала в настоящее время простым, доступным и мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем. Графы буквально вездесущи. В виде графов можно, например, интерпретировать схемы дорог и электрические цепи, географические карты и молекулы химических соединений, связи между людьми и группами людей. За последние четыре десятилетия теория графов превратилась в один из наиболее бурно развивающихся разделов математики. Это вызвано запросами стремительно расширяющейся области приложений. Применяется при проектировании интегральных схем и схем управления, при исследовании автоматов, логических цепей, блок- схем программ, в экономике и статистике, химии и биологии, в теории расписаний. Поэтому актуальность темы обусловлена с одной стороны популярностью графов и связанных с ними методов исследований, а с другой, не разработанная, целостная система ее реализации.

Решение многих жизненных задач требует длинных вычислений, а иногда и эти вычисления не приносят успеха. В этом и состоит проблема исследования . Возникает вопрос: нельзя ли для их решения найти простое, рациональное, короткое и изящное решение. Упрощается ли решение задач, если использовать графы? Это определило тему моего исследования : «Практическое применение теории графов»

Целью исследования было с помощью графов научиться быстро решать практические задачи.

Гипотеза исследования. Метод графов очень важен и широко применяется в различных областях науки и жизнедеятельности человека.

Задачи исследования:

1.Изучить литературу и ресурсы сети Интернет по данной проблеме.

2.Проверить эффективность метода графов при решении практических задач.

3. Сделать вывод.

Практическая значимость исследования заключается в том, что результаты несомненно вызовут интерес у многих людей. Разве не пытался кто-то из вас построить генеалогическое дерево своей семьи? А как это сделать грамотно? Руководителю транспортного предприятия наверняка приходится решать проблему более выгодного использования транспорта при перевозке грузов с места назначения в несколько населенных пунктов. Каждый школьник сталкивался с логическими задачами на переливание. Оказывается они решаются при помощи графов легко.

В работе используются следующие методы: наблюдение, поиск, отбор, анализ.

История возникновения теории графов

Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда Эйлера (1707-1783). Историю возникновения этой теории можно проследить по переписке великого ученого. Вот перевод латинского текста, который взят из письма Эйлера к итальянскому математику и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года.

"Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов.

[Приложение рис.1] Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может. Кенигсбергские же мосты расположены так, что их можно представить на следующем рисунке [Приложение рис.2] , на котором A обозначает остров, а B ,C иD – части континента, отделенные друг от друга рукавами реки

По поводу обнаруженного им способа решать задачи подобного рода Эйлер писал:

"Это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешается математиками, чем другими".

Так можно ли обойти Кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов? Чтобы найти ответ, продолжим письмо Эйлера к Маринони:

"Вопрос состоит в том, чтобы определить, можно ли обойти все эти семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя. Мое правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего, нужно смотреть, сколько есть участков, разделенных водой, – таких, у которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В данном примере таких участков четыре – A , B , C , D . Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным – по три моста, т. е. Число мостов, ведущих к отдельным участкам, нечетно, а этого одного уже достаточно для решения задачи. Когда это определено, применяем следующее правило: если бы число мостов, ведущих к каждому отдельному участку, было четным, то тогда обход, о котором идет речь, был бы возможен, и в то же время можно было бы начать этот обход с любого участка. Если же из этих чисел два были бы нечетные, ибо только одно быть нечетным не может, то и тогда мог бы совершиться переход, как это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято от одного из тех двух участков, к которым ведет нечетное число мостов. Если бы, наконец, было больше двух участков, к которым ведет нечетное число мостов, то тогда такое движение вообще невозможно… если можно было привести здесь другие, более серьезные задачи, этот метод мог бы принести еще большую пользу и им не следовало бы пренебрегать".

Основные определения и теоремы теории графов

Теория графов – дисциплина математическая, созданная усилиями математиков, поэтому ее изложение включает в себя и необходимые строгие определения. Итак, приступим к организованному введению основных понятий этой теории.

Определение 1. Графомназывается совокупность конечного числа точек, называемых вершинами графа, и попарно соединяющих некоторые из этих вершин линий, называемых ребрамиили дугами графа.

Это определение можно сформулировать иначе: графомназывается непустое множество точек (вершин) и отрезков (ребер), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек

В дальнейшем вершины графа мы будем обозначать латинскими буквами A , B , C , D . Иногда граф в целом будем обозначать одной заглавной буквой.

Определение 2. Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.

Определение 3. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется нуль- графом.

Обозначение: O "– граф с вершинами, не имеющий ребер

Определение 4. Граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром, называется полным.

Обозначение: U " – граф, состоящий из n вершин и ребер, соединяющих всевозможные пары этих вершин. Такой граф можно представить как n –угольник, в котором проведены все диагонали

Определение 5. Степеньювершиныназывается число ребер, которым принадлежит вершина.

Определение 6. Граф, степени всех k вершин которого одинаковы, называется однороднымграфомстепениk .

Определение 7. Дополнениемданногографаназывается граф, состоящий из всех ребер и их концов, которые необходимо добавить к исходному графу, чтобы получить полный граф.

Определение 8. Граф, который можно представить на плоскости в таком виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах, называется плоским.

Определение 9. Многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя никаких вершин или ребер графа, называют его гранью.

Понятия плоского графа и грани графа применяется при решении задач на "правильное" раскрашивание различных карт.

Определение 10. Путемот A доX называется последовательность ребер, ведущая от A к X , такая, что каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается более одного раза.

Определение 11. Цикломназывается путь, в котором совпадают начальная и конечная точка.

Определение 12. Простым цикломназывается цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более одного раза.

Определение 13. Длиной пути, проложенного на цикле, называется число ребер этого пути.

Определение 14. Две вершины A и B в графе называются связными(несвязными), если в нем существует (не существует) путь, ведущий из A в B .

Определение 15. Граф называется связным, если каждые две его вершины связны; если же в графе найдется хотя бы одна пара несвязных вершин, то граф называется несвязным.

Определение 16. Деревомназывается связный граф, не содержащий циклов.

Трехмерной моделью графа-дерева служит, например, настоящее дерево с его замысловато разветвленной кроной; река и ее притоки также образуют дерево, но уже плоское – на поверхности земли.

Определение 17. Несвязный граф, состоящий исключительно из деревьев, называется лесом.

Определение 18. Дерево, все n вершин которого имеют номера от 1 до n , называют деревом с перенумерованными вершинами.

Итак, мы рассмотрели основные определения теории графов, без которых было бы невозможно доказательство теорем, а, следовательно и решение задач.

Задачи решаемые при помощи графов

Знаменитые задачи

Задача коммивояжера

Задача коммивояжера является одной из знаменитых задач теории комбинаторики. Она была поставлена в 1934 году, и об неё обламывали зубы лучшие математики.

Постановка задачи следующая.
Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2,1,3..n и вернуться в первый город. Расстояния между городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим?

Метод решения задачи коммивояжера

Жадный алгоритм “иди в ближайший (в который еще не входил) город”.
“Жадным” этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность.
Рассмотрим для примера сеть на рисунке [приложение рис.3] , представляющую узкий ромб. Пусть коммивояжер стартует из города 1. Алгоритм “иди в ближайший город” выведет его в город 2, затем 3, затем 4; на последнем шаге придется платить за жадность, возвращаясь по длинной диагонали ромба. В результате получится не кратчайший, а длиннейший тур.

Задача о Кенигсбергских мостах.

Задача формулируется следующим образом.
Город Кенигсберг расположен на берегах реки Прегель и двух островах. Различные части города были соединены семью мостами. По воскресеньям горожане совершали прогулки по городу. Вопрос: можно ли совершить прогулку таким образом, чтобы, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя в точности один раз по каждому мосту.
Мосты через реку Прегель расположены как на рисунке [приложение Рис.1].

Рассмотрим граф, соответствующий схеме мостов [приложение рис.2].

Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно выяснить, является ли граф эйлеровым. (Хотя бы из одной вершины должно выходить четное число мостов). Нельзя, прогуливаясь по городу, пройти по одному разу все мосты и вернуться обратно.

Несколько интересных задач

1. "Маршруты".

Задача 1

Как вы помните, охотник за мертвыми душами Чичиков побывал у известных помещиков по одному разу у каждого. Он посещал их в следующем порядке: Манилова, Коробочку, Ноздрева, Собакевича, Плюшкина, Тентетникова, генерала Бетрищева, Петуха, Констанжолго, полковника Кошкарева. Найдена схема, на которой Чичиков набросал взаимное расположение имений и проселочных дорог, соединяющих их. Установите, какое имение кому принадлежит, если ни одной из дорог Чичиков не проезжал более одного раза [приложение рис.4].

Решение :

По схеме дорог видно, что путешествие Чичиков начал с имения Е, а окончил имением О. Замечаем, что в имения В и С ведут только две дороги, поэтому по этим дорогам Чичиков должен был проехать. Отметим их жирной линией. Определены участки маршрута, проходящие через А: АС и АВ. По дорогам АЕ, АК и АМ Чичиков не ездил. Перечеркнем их. Отметим жирной линией ЕD ; перечеркнем DK . Перечеркнем МО и МН; отметим жирной линией MF ; перечеркнем FO ; отметим жирной линией FH , НК и КО. Найдем единственно возможный при данном условии маршрут. И получаем: имение Е – принадлежит Манилову, D - Коробочке, С – Ноздреву, А – Собакевичу, В – Плюшкину, М – Тентетникову, F - Бетрищеву, Н – Петуху, К – Констанжолго, О – Кошкареву [приложение рис.5] .

Задача 2

На рисунке изображена схема местности [приложение рис.6].

Передвигаться можно только в направлении стрелок. В каждом пункте можно бывать не более одного раза. Сколькими способами можно попасть из пункта 1 в пункт 9? Какой маршрут самый короткий и какой - самый длинный.

Решение :

Последовательно "расслаиваем" схему в дерево, начиная с вершины 1[приложение рис.7] . Получим дерево. Число возможных способов попадания из 1 в 9 равно числу "висячих" вершин дерева (их 14). Очевидно, кратчайший путь-1-5-9; самый длинный - 1-2-3-6-5-7-8-9.

2 "Группы, знакомства"

Задача 1

Участники музыкального фестиваля, познакомившись, обменялись конвертами с адресами. Докажите, что:

а) всего было передано четное число конвертов;

б) число участников, обменявшихся конвертами нечетное число раз, четно.

Решение: Пусть участники фестиваля А 1 , А 2 , А 3 . . . , А n – вершины графа, а ребра соединяют пары вершин, изображающих ребят, обменявшихся конвертами [Приложение рис.8]

Решение:

а) степень каждой вершины А i показывает число конвертов, которое передал участник А i своим знакомым. Общее число переданных конвертов N равно сумме степеней всех вершин графа N = степ. А 1 + степ. А 2 + + . . . + степ. А n -1 + степ. А n , N =2p , где p – число ребер графа, т.е. N – четное. Следовательно, было передано четное число конвертов;

б) в равенстве N = степ. А 1 + степ. А 2 + + . . . + степ. А n -1 + степ. А n сумма нечетных слагаемых должна быть четной, а это может быть только в том случае, если число нечетных слагаемых четно. А это означает, что число участников, обменявшихся конвертами нечетное число раз, четное.

Задача 2

Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти в кино. Выбор кинотеатра и сеанса они решили согласовать по телефону. Было также решено, что если с кем-то созвониться не удастся, то поход в кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису. Кто не сумел созвониться и поэтому не пришёл на встречу?

Решение:

Нарисуем пять точек и обозначим их буквами А, Б, В, Г, Д. Это первые буквы имён. Соединим те точки, которые соответствуют именам созвонившихся ребят.

[ приложение рис.9]

Из рисунка видно, что каждый из ребят – Андрей, Борис и Володя - созвонились со всеми остальными. Поэтому эти ребята и пришли к кинотеатру. А Галя и Даша не сумели созвониться между собой (точки Г и Д не соединены отрезком) и поэтому в соответствии с договорённостью в кино не пришли.

Применение графов в различных областях жизни людей

Кроме приведенных примеров, графы широко используются в строительстве, электротехнике, менеджменте, логистике, географии, машиностроении, социологии, программировании, автоматизации технологических процессов и производств, психологии, рекламе. Итак, из всего вышесказанного неопровержимо следует практическая ценность теории графов, доказательство которой и являлось целью данного исследования.

В любой области науки и техники встречаешься с графами. Графы - это замечательные математические объекты, с помощью которых можно решать математические, экономические и логические задачи, различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Многие математические факты удобно формулировать на языке графов. Теория графов является частью многих наук. Теория графов - одна из самых красивых и наглядных математических теорий. В последнее время теория графов находит всё больше применений и в прикладных вопросах. Возникла даже компьютерная химия - сравнительно молодая область химии, основанная на применении теории графов.

Молекулярные графы , применяемые в стереохимии и структурной топологии, химии кластеров, полимеров и др., представляют собой неориентированные графы, отображающие строение молекул [приложение рис.10] . Вершины и ребра этих графов отвечают соответственным атомам и химическим связям между ними.

Молекулярные графы и деревья: [приложение рис.10] а, б - мультиграфы соотв. этилена и формальдегида; в-мол. изомеров пентана (деревья 4, 5 изоморфны дереву 2).

В стереохимии организмов наиболее. часто используют молекулярные деревья -основные деревья молекулярных графов, которые содержат только все вершины, соответствующие атомам С. Составление наборов мол. деревьев и установление их изоморфизма позволяют определять мол. структуры и находить полное число изомеров алканов, алкенов и алкинов

Белковые сети

Белковые сети - группы физически взаимодействующих белков, которые функционируют в клетке совместно и скоординированно, контролируя взаимосвязанные процессы, происходящие в организме [приложение рис. 11].

Граф иерархической системы называется деревом. Отличительной особенностью дерева является то, что между любыми двумя его вершинами существует единственный путь. Дерево не содержит циклов и петель.

Обычно у дерева, представляющего иерархическую систему, выделяется одна главная вершина, которая называется корнем дерева. Каждая вершина дерева (кроме корня) имеет только одного предка – обозначенный ею объект входит в один класс верхнего уровня. Любая вершина дерева может порождать несколько потомков – вершин, соответствующих классам нижнего уровня.

Для каждой пары вершин дерева существует единственный путь, их соединяющий. Этим свойством пользуются при нахождении всех предков, например, по мужской линии, любого человека, чья родословная представлена в виде генеалогического дерева, которое является «деревом» и в смысле теории графов.

Пример генеалогического дерева моей семьи [приложение рис.12].

Еще один пример. На рисунке показано библейское генеалогическое дерево [приложение рис.13].

Решение задач

1.Транспортная задача . Пусть в городе Краснодаре находится база с сырьём, которое нужно развести по городам Крымск, Темрюк, Славянск-на-Кубани и Тимашевск одним заездом, затратив при этом как можно меньше времени и топлива и вернувшись обратно в Краснодар.

Решение:

Для начала составим граф всех возможных путей проезда [приложение рис.14] , учитывая реальные дороги между данными населенными пунктами и расстояние между ними. Для решения этой задачи нам потребуется составить еще один граф, древовидный [приложение рис.15] .

Для удобства решения обозначаем города цифрами: Краснодар – 1, Крымск – 2, Темрюк – 3, Славянск – 4, Тимашевск – 5.

В результате вышло 24 решения, но нам нужны только кратчайшие пути. Из всех решений удовлетворяют только два, это 350 км.

Подобно этому можно и, я думаю, нужно рассчитывать реальные перевозки из одного населенного пункта в другие.

Логическая задача на переливание. В ведре 8 л воды, и имеется две кастрюли емкостью 5 и 3 л. требуется отлить в пятилитровую кастрюлю 4 л воды и оставить в ведре 4 л, т. е. разлить воду поровну в ведро и большую кастрюлю.

Решение:

Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами [приложение рис.16].

В результате получаем два решения: одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.

Заключение

Итак, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Решая практические задачи с помощью теории графов стало ясно видно, что в каждом шаге, в каждом этапе их решения необходимо применить творчество.

С самого начала, на первом этапе, оно заключается в том, что нужно суметь проанализировать и закодировать условие задачи. Второй этап – схематическая запись, которая состоит в геометрическом представлении графов, и на этом этапе элемент творчества очень важен потому, что далеко не просто найти соответствия между элементами условия и соответствующими элементами графа.

Решая транспортную задачу или задачу на составление генеалогического дерева я сделал вывод, что безусловно метод графов интересен, красив и нагляден.

Я убедился, что графы достаточно широко применяются в экономике, управлении, технике. Также теория графов применяется в программировании.Об этом в данной работе не шла речь, но думаю, что это только вопрос времени.

В настоящей научной работе рассмотрены математические графы, области их применения, решено несколько задач с помощью графов. Знание основ теории графов необходимо в различных областях, связанных с управлением производством, бизнесом (например, сетевой график строительства, графики доставки почты). Кроме того, работая над научной работой, я освоил работу на компьютере в текстовом редакторе WORD . Таким образом, задачи научной работы выполнены.

Итак, из всего вышесказанного неопровержимо следует практическая ценность теории графов, доказательство которой и являлось целью данной работы.

Литература

Берж К. Теория графов и ее применения. -M.: ИИЛ, 1962.

Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику. -M.: ИИЛ, 1963.

Оре О. Графы и их применение. -M.: Мир, 1965.

Харари Ф. Теория графов. -M.: Мир, 1973.

Зыков А.А. Теория конечных графов. -Новосибирск: Наука, 1969.

Березина Л.Ю. Графы и их применение. -M.: Просвещение, 1979. -144 c.

"Соросовский образовательный журнал" №11 1996 (ст. "Плоские графы");

Гарднер М. "Математические досуги", М. "Мир", 1972(глава 35);

Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. "Старинные занимательные задачи", М. "Наука", 1988(часть 2, раздел 8; приложение 4);

Приложение

Приложение

П

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Приложение

Приложение

Приложение

П

Рис. 14

Приложение